Question

已知D、E分别在平面ABC的同侧，且DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，DC=2，△ABC是边长为2的正三角形，F是AD中点．
（1）当BE等于多少时，EF∥平面ABC；
（2）当EF∥平面ABC时，求平面DAE和平面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）取AC中点G，连接FG、BG，则FG∥DC∥BE，易知当BE=1时，BEFG为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论；
（2）由（1）知，当EF∥平面ABC时，BE=1，取BC中点O，过O作OZ⊥平面ABC，建立恰当的空间直角坐标系，转化为两平面的法向量的夹角可求得结果；

解答：解：（1）取AC中点G，连接FG、BG，则FG∥DC∥BE，
当BE=1时，有FG=BE，即BEFG为平行四边形，
故当BE=1时，EF∥BG，且BG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）由（1）知，当EF∥平面ABC时，BE=1，取BC中点O，过O作OZ⊥平面ABC，
如图，建立空间直角坐标系，则A（

3

，0，0），B（0，1，0），E（0，1，1），D（0，-1，2），
平面ABC的法向量为

BE

=(0，0，1)，
设平面ADE法向量为

n

=(x，y，z)，

AD

=（-

3

，-1，2），

DE

=（0，2，-1），
由

n • AD =0 n • DE =0

，得

- 3 x-y+2z=0 2y-z=0

，取z=2，则y=1，x=

3

，
∴

n

=(

3

，1，2)，
∴cos＜

BE

，

n

＞=

BE • n

| BE || n |

=

2

2 2

=

2

2

，则＜

BE

，

n

＞=45°，
∴平面DAE和平面ABC所成角为45°或135°．

点评：本题考查线面平行的判定、二面角的求解，考查空间向量在立体几何中的应用，考查学生的推理论证能力、空间想象能力．