Question

15．如图，在△ABC中，BC=3．AC=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，B=$\frac{π}{6}$，∠BAC$＞\frac{π}{2}$，AE，AF是∠BAC的三等分角平分线，分别交BC于点E，F．
（1）求角C的大小；
（2）求线段EF的长．

Answer 1

分析 （1）设∠BAE=α，则∠C=150°-3α，利用正弦定理可得角C的大小；
（2）利用正弦定理可得BE，CF，即可求线段EF的长．

解答 解：（1）设∠BAE=α，则∠C=150°-3α，
∴由正弦定理可得$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{sin3α}$=$\frac{AB}{sin（150°-3α）}$，
∴sin3α=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠BAC$＞\frac{π}{2}$，
∴3α=135°，
∴C=150°-3α=15°；
（2）在△ABC中，$\frac{AB}{sin15°}$=$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$，∴AB=$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$，
△ABE中，$\frac{BE}{sin45°}$=$\frac{AB}{sin105°}$，∴BE=6-3$\sqrt{3}$．
△AFC中，$\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{sin120°}=\frac{CF}{sin45°}$，∴CF=$\sqrt{3}$，
∴EF=3-6+3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理是关键．