Question

设是正数组成的数列，其前项和为，并且对任意的，与2的等差中项等于与2的等比中项.

(1)求证：数列的通项公式为；

(2)已知数列是以2为首项，公比为3的等比数列，其第项恰好是数列的第项，求的值.

Answer 1

【解】(1)证法一：由题意，得

当时，，得；

当时，.

所以，.

整理，得.

由题意知，所以.

所以数列为首项为2，公差为4的等差数列，即.

证法二：用数学归纳法：

当时，符合题意；        

假设(k∈)时，结论成立，即.

由题意有，

将代入上式，得，解得.   

由题意有，即.

整理，得.

由于，解得：.(k∈)

综上所述，对所有的，.

(2)由题意，，解得，，

.