Question

设抛物线C的方程为x2=4y，M为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，过点M作抛物线C的两条切线MA，MB，切点分别为A，B．
（1）当M的坐标为（0，-1）时，求过M，A，B三点的圆的方程，并判断直线l与此圆的位置关系；
（2）求证：直线AB恒过定点；
（3）当m变化时，试探究直线l上是否存在点M，使△MAB为直角三角形，若存在，有几个这样的点，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设过M点的切线方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐标，利用M到AB的中点（0，1）的距离为2，可得过M，A，B三点的圆的方程，从而可判断圆与直线l：y=-1相切；
（2）证法一：设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为，代入x²=4y，消元，利用△=0，即可确定，利用切线过点M（x，y），所以可得，同理可得，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；
证法二：设过M（x，y）的抛物线的切线方程为（k≠0），代入x²=4y，消去y，利用韦达定理
，确定直线AB的方程，从而可得结论；
证法三：利用导数法，确定切线的斜率，得切线方程，由此可得直线AB的方程，从而可得结论；
（3）由（2）中①②两式知x₁，x₂是方程的两实根，故有，从而可得=4m²+m-4m-=（m-1）（+4m），分类讨论，利用=0，k_ABk_MA=-1，即可求得结论．
解答：（1）证明：当M的坐标为（0，-1）时，设过M点的切线方程为y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，
令△=16k²-16=0，解得k=±1，
代入方程得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1），…（2分）
因为M到AB的中点（0，1）的距离为2，
从而过M，A，B三点的圆的方程为x²+（y-1）²=4．
∵圆心坐标为（0，1），半径为2，∴圆与直线l：y=-1相切…（4分）
（2）证法一：设切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4（kx₁-y₁）=0△=（4k）²-4×4（kx₁-y₁）=0，又因为，所以…（6分）
从而过抛物线上点A（x₁，y₁）的切线方程为即
又切线过点M（x，y），所以得①即…（8分）
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线为，
又切线过点M（x，y），所以得②…（10分）
即…（6分）
即点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足即xx=2（y+y），故直线AB的方程为xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故xx=2（y-m）对任意x成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法二：设过M（x，y）的抛物线的切线方程为（k≠0），
代入x²=4y，消去y，得x²-4kx-4（y-kx）=0
∴△=（4k）²+4×4（y-kx）=0即：k²-xk+y=0…（6分）
从而，此时，
所以切点A，B的坐标分别为，…（8分）
因为，，，
所以AB的中点坐标为…（11分）
故直线AB的方程为，即xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故xx=2（y-m）对任意x成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
证法三：由已知得，求导得，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故过点A（x₁，y₁）的切线斜率为，从而切线方程为即
…（7分）
又切线过点M（x，y），所以得①即…（8分）
同理可得过点B（x₂，y₂）的切线为，
又切线过点M（x，y），所以得②即…（10分）
即点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足即xx=2（y+y），故直线AB的方程为xx=2（y+y）…（12分）
又M（x，y）为直线l：y=-m（m＞0）上任意一点，故xx=2（y-m）对任意x成立，所以x=0，y=m，从而直线AB恒过定点（0，m）…（14分）
（3）由（2）中①②两式知x₁，x₂是方程的两实根，故有
∵，，y=m
∴=4m²+m-4m-=（m-1）（+4m），…（9分）
①当m=1时，=0，直线l上任意一点M均有MA⊥MB，△MAB为直角三角形；…（10分）
②当0＜m＜1时，＜0，∠AMB＞，△MAB不可能为直角三角形；…（11分）
③当m＞1时，＞0，∠AMB＜，．
因为k_AB===，=，
所以k_ABk_MA=
若k_ABk_MA=-1，则，整理得（y+2）=-4，
又因为y=-m，所以（m-2）=4，
因为方程（m-2）=4有解的充要条件是m＞2，所以当m＞2时，有MA⊥AB或MB⊥AB，△MAB为直角三角形…（13分）
综上所述，当m=1时，直线l上任意一点M，使△MAB为直角三角形，当m＞2时，直线l上存在两点M，使△MAB为直角三角形；当0＜m＜1或1＜m≤2时，△MAB不是直角三角形．…（14分）
点评：本题考查圆的方程，考查抛物线的切线，考查直线恒过定点，考查三角形形状的判断，考查分类讨论的数学思想，确定切线方程，及直线AB的方程是关键．