Question

如图，设抛物线C的方程为y²=4x，O为坐标原点，P为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，若直线PM与ON相交于点Q，则cos∠MQN=

-

10

10

．

Answer 1

分析：由物线C的方程为y²=4x，知P（-1，0），F（1，0），由焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，知M（1，2），N（1，-2），所以直线PM的方程为y=x+1，直线ON的方程为y=-2x，解方程组

y=x+1 y=-2x

，得Q（-

1

3

，

2

3

）．所以

QM

=(

4

3

，

4

3

)，

QN

=(

4

3

 ，-

8

3

)，由此能求出cos∠MQN．

解答：解：如图，∵物线C的方程为y²=4x，O为坐标原点，
P为抛物线的准线与其对称轴的交点，
∴P（-1，0），
F（1，0），
∵焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，
∴M（1，2），N（1，-2），
∵直线PM过P（-1，0），M（1，2），
∴直线PM的方程为

y

x+1

=1，即y=x+1，
∵直线NO过点O（0，0），N（1，-2），
∴直线ON的方程是

y

x

=

-2

1

，即y=-2x，
∴解方程组

y=x+1 y=-2x

，得Q（-

1

3

，

2

3

）．
∴

QM

=(

4

3

，

4

3

)，

QN

=(

4

3

 ，-

8

3

)，
∴cos∠MQN=cos＜

QM

，

QN

＞=

4 3 × 4 3 + 4 3 ×(- 8 3 )

4 3 2  × 4 3 5

=-

10

10

．
故答案为：-

10

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．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是抛物线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．