Question

在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求：
（1）∠ADC的大小
（2）AB的长．

Answer 1

分析：（1）在△ADC中，利用余弦定理表示出cos∠ADC，把三角形的三边长代入，化简可得值，根据由∠ADC的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠ADC的度数；
（2）由（1）求出的∠ADC的度数，根据邻补角定义得到∠ADB的度数，再由AD和∠B的度数，利用正弦定理即可求出AB的长．

解答：解：（1）在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

=

100+36-196

2×10×6

=-

1

2

，又∠ADC∈（0，180°），（5分）
∴∠ADC=120°；（7分）
（2）由∠ADC=120°，得到∠ADB=60°，
在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，（9分）
由正弦定理得

AB

sin∠ADB

=

AD

sinB

，（11分）
∴AB=

ADsin∠ADB

sinB

=

10sin60°

sin45°

=

10× 3 2

2 2

=5

6

．（14分）

点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握定理，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．