Question

（2013•奉贤区二模）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，AA₁=2，AB=1，E是DD₁上的一点．
（1）求异面直线AC与B₁D所成的角；
（2）若B₁D⊥平面ACE，求三棱锥A-CDE的体积．

Answer 1

分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到此两条异面直线所成的角；
（2）利用线面垂直的性质定理即可得到点E的坐标，利用V_A-CDE=V_E-ADC即可得到体积．

解答：解：以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．                                                                    
（1）依题意，D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，2），
∴

AC

=(-1，1，0)，

DB1

=(1，1，2)
∴

DB1

•

AC

=0，
∴异面直线AC与B₁D所成的角为

π

2

．
（2）设E（0，0，a），则

AE

=(-1，0，a)，
∵B₁D⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴B₁D⊥AE．
∴

DB1

•

AE

=0，∴-1+2a=0，a=

1

2

．
∴V_A-CDE=V_E-ADC=

1

3

S△ADC ×DE=

1

3

×

1

2

×12×

1

2

=

1

12

．

点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系的方法并利用异面直线的方向向量的夹角得到两条异面直线所成的角、及掌握线面垂直的性质定理、“等积变形”、三棱锥的体积计算公式是解题的关键．