Question

已知xⁿ=a₀+a₁（x+3）²+…+a_n-1（x+3）^n-1+a_n（x+2）ⁿ，（n≥2）．
（1）求a_n和a_n-1；
（2）将a₀记为第一项系数，a₁记为第二项系数，…a_n记为第n项系数，求式子奇数项系数和．

Answer 1

分析：（1）从xⁿ的系数来看可求出a_n，从x^n-1的系数来看可求出a_n-1；
（2）讨论n的奇偶，然后令x=-2与令x=-4，将两式相加可求出式子奇数项系数和．

解答：解：（1）从xⁿ的系数来看，a_n=1
从x^n-1的系数来看，a_n-1+a_n

C

1 n

×2=0⇒a_n-1=-2n
（2）当n为奇数时，奇数项系数和为a₀+a₂+a₄+…+a_n-1
在xn=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+an-1(x+3)n-1+an(x+2)n中
令x=-2得到（-2）ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n-1
令x=-4得到(-4)n=a0-a1+a2-a3+…+an-1+an(-2)n
相加得到a0+a2+a4+…+an-1=

(-4)n

2

当n为偶数时，奇数项系数和为a₀+a₂+a₄++a_n
令x=-2得到（-2）ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n-1
令x=-4得到(-4)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an(-2)n
相加得到a0+a2+a4+…+an-2=

(-4)n

2

所以a₀+a₂+a₄+…+a_n=

(-4)n

2

+1

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，以及赋值法的应用，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．