Question

若实数a，b，c满足

1

2a

+

1

2b

=1，

1

2a+b

+

1

2b+c

+

1

2a+c

=1，则c的最大值是

2-log₂3

．

Answer 1

分析：由

1

2a

+

1

2b

=1，

1

2a+b

+

1

2b+c

+

1

2a+c

=1，求得

1

2b+c

+

1

2a+c

=

1

2c

，利用基本不等式可求得2^c≤

4

3

，问题即可解决．

解答：解：∵

1

2a

+

1

2b

=1，
∴有基本不等式得：1=

1

2a

+

1

2b

≥2

1 2a • 1 2b

（当且仅当a=b=1时取“=”），
∴

1

2a

•

1

2b

≤

1

4

，
∴-

1

2a

•

1

2b

≥-

1

4

，
∵

1

2a+b

+

1

2b+c

+

1

2a+c

=1，

1

2b+c

+

1

2a+c

=

1

2c

（

1

2a

+

1

2b

）=

1

2c

，
∴

1

2c

=1-

1

2a+b

≥

3

4

，
∴2^c≤

4

3

．
∴c≤log2

4

3

=2-log₂3．
故答案为：2-log₂3．

点评：本题考查基本不等式及指数幂的运算性质，利用已知将

1

2b+c

+

1

2a+c

化为

1

2c

是关键，考查分析转化与运算的能力，属于中档题．