Question

若实数a，b，c满足2^a+2^b=2^a+b，2^a+2^b+2^c=2^a+b+c，则c的最大值是

 

．

Answer 1

分析：由基本不等式得2^a+2^b≥2

2a2b

=2×2

a+b

2

，可求出2^a+b的范围，
再由2^a+2^b+2^c=2^a+b+c=2^a+b2^c=2^a+b+2^c，2^c可用2^a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．

解答：解：由基本不等式得2^a+2^b≥2

2a2b

=2×2

a+b

2

，即2^a+b≥2

2a2b

=2×2

a+b

2

，所以2^a+b≥4，
令t=2^a+b，由2^a+2^b+2^c=2^a+b+c可得2^a+b+2^c=2^a+b2^c，所以2^c=

t

t-1

=1+

1

t-1

因为t≥4，所以1＜

t

t-1

≤

4

3

，即1＜2c≤

4

3

，所以0＜c≤log2

4

3

=2-log23
故答案为：2-log₂3

点评：本题考查指数的运算法则，基本不等式求最值、不等式的性质等问题，综合性较强．