题目内容

在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a-c）cosB．
（1）求cosB；
（2）若 $数学公式$ • $数学公式$ =4，b=4 $数学公式$ ，求边a，c的值．

解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a-c）cosB，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB，
∴3sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．
∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB= $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4，b=4 $\text{[math]}$ ，可得，a•c•cosB=4，即 ac=12．…①．
再由余弦定理可得 b²=32=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²- $\text{[math]}$ ，即 a²+c²=40，…②．
由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．
综上可得， $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB的值．
（2）由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a²+c²=40，由此求得边a，c的值．
点评：本题以三角形为载体，主要考查了正弦定理、余弦定理的运用，考查两角和公式．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．