题目内容

已知在△ABC中,边a,b,c所对应的角为A,B,C,B为锐角,sinAsinB=
BC
2AC

(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若cosA=-
5
5
,求sin(2A+B)的值.
分析:(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式右边,根据sinA不为0求出sinB的值,由B为锐角即可求出角B的值;
(Ⅱ)由cosA的值,以及A为三角形内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)∵sinAsinB=
BC
2AC
=
a
2b
,根据正弦定理得:
a
b
=
sinA
sinB

∴sinAsinB=
sinA
2sinB

∵A∈(0,π),∴sinA>0,
∴sin2B=
1
2

∵B为锐角,∴sinB=
2
2

则B=
π
4

(Ⅱ)∵cosA=-
5
5
,A∈(0,π),
∴sinA=
1-cos2A
=
2
5
5

∴sin2A=2sinAcosA=2×
2
5
5
×(-
5
5
)=-
4
5
,cos2A=cos2A-sin2A=-
3
5

则sin(2A+B)=sin2AcosB+cos2AsinB=-
4
5
×
2
2
-
3
5
×
2
2
=-
7
2
10
点评:此题考查了正弦定理,二倍角的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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