题目内容
已知在△ABC中,边a,b,c所对应的角为A,B,C,B为锐角,sinAsinB=
.
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若cosA=-
,求sin(2A+B)的值.
BC |
2AC |
(Ⅰ)求角B的值;
(Ⅱ)若cosA=-
| ||
5 |
分析:(Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式右边,根据sinA不为0求出sinB的值,由B为锐角即可求出角B的值;
(Ⅱ)由cosA的值,以及A为三角形内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.
(Ⅱ)由cosA的值,以及A为三角形内角,利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值,所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.
解答:解:(Ⅰ)∵sinAsinB=
=
,根据正弦定理得:
=
,
∴sinAsinB=
,
∵A∈(0,π),∴sinA>0,
∴sin2B=
,
∵B为锐角,∴sinB=
,
则B=
;
(Ⅱ)∵cosA=-
,A∈(0,π),
∴sinA=
=
,
∴sin2A=2sinAcosA=2×
×(-
)=-
,cos2A=cos2A-sin2A=-
,
则sin(2A+B)=sin2AcosB+cos2AsinB=-
×
-
×
=-
.
BC |
2AC |
a |
2b |
a |
b |
sinA |
sinB |
∴sinAsinB=
sinA |
2sinB |
∵A∈(0,π),∴sinA>0,
∴sin2B=
1 |
2 |
∵B为锐角,∴sinB=
| ||
2 |
则B=
π |
4 |
(Ⅱ)∵cosA=-
| ||
5 |
∴sinA=
1-cos2A |
2
| ||
5 |
∴sin2A=2sinAcosA=2×
2
| ||
5 |
| ||
5 |
4 |
5 |
3 |
5 |
则sin(2A+B)=sin2AcosB+cos2AsinB=-
4 |
5 |
| ||
2 |
3 |
5 |
| ||
2 |
7
| ||
10 |
点评:此题考查了正弦定理,二倍角的正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

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