Question

已知在△ABC中，边a，b，c所对应的角为A，B，C，B为锐角，sinAsinB=

BC

2AC

．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若cosA=-

5

5

，求sin（2A+B）的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式右边，根据sinA不为0求出sinB的值，由B为锐角即可求出角B的值；
（Ⅱ）由cosA的值，以及A为三角形内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：（Ⅰ）∵sinAsinB=

BC

2AC

=

a

2b

，根据正弦定理得：

a

b

=

sinA

sinB

，
∴sinAsinB=

sinA

2sinB

，
∵A∈（0，π），∴sinA＞0，
∴sin²B=

1

2

，
∵B为锐角，∴sinB=

2

2

，
则B=

π

4

；
（Ⅱ）∵cosA=-

5

5

，A∈（0，π），
∴sinA=

1-cos2A

=

2 5

5

，
∴sin2A=2sinAcosA=2×

2 5

5

×（-

5

5

）=-

4

5

，cos2A=cos²A-sin²A=-

3

5

，
则sin（2A+B）=sin2AcosB+cos2AsinB=-

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=-

7 2

10

．

点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．