Question

如图1，在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，AE=CF=CP=1．将△AFE沿折起到△A₁EF的位置，使平面A₁EF与平面BCFE垂直，连接A₁B、A₁P（如图2）．
（1）求证：PF∥平面A₁EB；
（2）求证：平面BCFE⊥平面A₁EB；
（3）求四棱锥A₁-BPFE的体积．

Answer 1

（1）证明：∵CF=CP=x，CA=CB，∴PF∥BE
∵PF?平面A₁BE，BE?平面A₁BE
∴PF∥平面A₁EB；
（2）证明：∵AE=1，AF=2，∠A=60°
∴EF=，∴EF⊥A₁E，EF⊥BE
∵A₁E∩BE=E
∴EF⊥平面A₁EB
∵EF?平面BCFE
∴平面BCFE⊥平面A₁EB；
（3）∵平面A₁EF与平面BCFE垂直，EF⊥A₁E，平面A₁EF与平面BCFE的交线为EF
∴A₁E⊥平面BCFE
∵
∵A₁E=1
∴V_A1-BPFE=××1=
分析：（1）证明PF∥平面A₁EB，利用线面平行的判定定理，证明PF∥BE即可；
（2）证明平面BCFE⊥平面A₁EB．利用面面垂直的判定定理，证明EF⊥平面A₁EB即可；
（3）证明A₁E⊥平面BCFE，即可求四棱锥A₁-BPFE的体积．
点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查四棱锥的体积计算．对于图形的翻折问题，关健是利用翻折前后的不变量．