题目内容

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值．
（2）对任意的 $数学公式$ ， $数学公式$ ，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立时，求a的取值范围．

解：（1）由已知等式f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令x=1，y=0得f（1）-f（0）=2，
又∵f（1）=0，∴f（0）=-2．
（2）由f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，令y=0得f（x）-f（0）=（x+1）x，
由（1）知f（0）=-2，∴f（x）+2=x²+x．
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
∴ $\text{[math]}$
要使任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立，
当a＞1时， $\text{[math]}$ ，显然不成立．
当0＜a＜1时， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$
∴a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）通过对等式中的x，y分别赋值1，0求出f（0）的值．
（2）要使不等式恒成立就需左边的最大值小于右边的最小值，通过对a讨论求出右边的最小值，求出a的范围．
点评：本题考查通过赋值法求函数值；解决不等式恒成立常用的方法是转化为函数的最值．

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)，都有f（x₁）+2＜log_ax₂成立时，求a的取值范围．

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（2）求f（x）的解析式；
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（2）求f（x）的解析式
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