Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）当0≤x≤

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时，f（x）+3＜2x+a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f （x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，令x=1，y=0可求出f（0）的值；
（2）将f（x）的解析式代入f（x）+3＜2x+a，又x∈（0，

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），通过分离变量，推出a大于的函数h（x）的最大值，使a大于最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x） 对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立
∴令x=1，y=0，f（1+0）-f（0）=1×（1+2×0+1）⇒f（0）=-2．
（2）令 y=0，可得  f（x）=x²+x，当0≤x≤

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时，f（x）+3＜2x+a恒成立，
即x²+x+3＜2x+a，即x²-x+3＜a当0≤x≤

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时，恒成立．
令h（x）=x²-x+3，对称轴为：x=

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，在0≤x≤

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的最大值为：f（0）=3，
所以a＞3．
实数a的取值范围：（3，+∞）．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，函数恒成立问题，同时考查了二次函数闭区间上的最值问题，属于中档题．