Question

设函数f（x）=log₂（2^x+1），x∈R．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）解不等式2f（x）≤f^-1（x+log₂5）．

Answer 1

分析：（1）利用指数是与对数式的互化关系，求出反函数的解析式，然后根据原函数的值域确定反函数的定义域即可；
（2）先根据函数的定义域求出x的范围，然后代入解析式，解对数不等式，转化成指数不等式进行求解，即可求出x的取值范围．

解答：解：（1）y=log₂（2^x+1），则2^x=2^y-1，y＞0
∴x=log₂（2^y-1）
∴f^-1（x）=log₂（2^x-1），x∈（0，+∞）．
（2）由2f（x）≤f^-1（x+log₂5），得x+log₂5＞0，
且2log₂（2^x+1）≤log2(2x+log25-1)，
∴（2^x）²-3×2²+2≤0，∴1≤2^x≤2，?0≤x≤1
综上，得0≤x≤1．

点评：本题主要考查了反函数的求解，以及对数函数图象与性质的综合应用，同时考查转化与划归的思想，计算能力，属于中档题．