Question

如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线与
轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且

（1）求此椭圆的标准方程;
（2）设P是此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线于点,为的中点，判定直线与以为直径的圆O位置关系。

Answer 1

（1）；（2）直线与以为直径的圆O相切.

试题分析：本体主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先设出顶点和焦点坐标，代入到已知中列出表达式解出和的值，所以得到椭圆的标准方程；第二问，设出两点坐标，得到，所以可以得到直线的方程，同理得直线的方程，由直线的方程得到点坐标，从而得斜率，利用椭圆方程化简，从而得到直线的方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与以为直径的圆的位置关系.
试题解析：（1）可知，，，，
，
,
得
椭圆方程为
（2）设则
由得，
所以直线AQ的方程为，
由得直线的方程为

由，
又因为
所以

所以直线NQ的方程为
化简整理得到，
所以点O直线NQ的距离=圆O的半径，
直线与以为直径的圆O相切.