Question

7．已知定义在R上的可导函数f（x）满足f′（x）＜1，若f（1-m）-f（m）＞1-2m，则实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据导数的定义，将不等式进行转化，构造函数g（x）=f（x）-x，利用导数的研究函数的单调性，进行求解即可．

解答 解：设g（x）=f（x）-x，则g′（x）=f′（x）-1，
∵f（x）满足f′（x）＜1，
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
即函数g（x）在定义域上为减函数，
若f（1-m）-f（m）＞1-2m，
则f（1-m）-f（m）＞（1-m）-m，
即f（1-m）-（1-m）＞f（m）-m，
即g（1-m）＞g（m），
则1-m＜m，得m＞$\frac{1}{2}$，
故实数m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞），
故答案为：（$\frac{1}{2}$，+∞）

点评 本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强．