Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由题意确定函数定义域，对函数求导，分别讨论，以及，即可得出结果；

（2）先由不等式恒成立得到，因为，因此只需即可；令，用导数的方法求出函数的最小值，即可得出结果.

（1）由题意得，函数的定义域为，

.

若，则，故函数在上单调递增；

若，则，故当时，，当时，.

则在上单调递减，在上单调递增；

若，则，故，故函数在上单调递增；

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2），.

又，若，则.

令，则，

令，解得.

当时，，则函数在上单调递减，

当时，，则函数在上单调递增，

，解得.

当时，存在，使得成立，

这与矛盾，，

又，故实数的取值范围为.