Question

已知函数y=

5x-1

5x+1

．
（1）判断函数奇偶性；
（2）判断函数单调性；
（3）求出此函数值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数的定义域为R，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．
（2）由于f（x）=1-

2

5x+1

，当x增大时，

2

5x+1

的值减小，f（x）的值增大，可得函数f（x）在R上是增函数．
（3）由于f（x）=

5x+1-2

5x+1

=1-

2

5x+1

，再根据

2

5x+1

的范围可得1-

2

5x+1

的范围，从而求得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=y=

5x-1

5x+1

的定义域为R，且满足f（-x）=

5-x-1

5-x+1

=

1-5x

1+5x

=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
（2）由于f（x）=

5x+1-2

5x+1

=1-

2

5x+1

，当x增大时，

2

5x+1

的值减小，故f（x）的值增大，
故函数f（x）在R上是增函数．
（3）由于f（x）=

5x+1-2

5x+1

=1-

2

5x+1

，0＜

2

5x+1

＜2，∴-1＜1-

2

5x+1

＜1，
故函数f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．