Question

已知椭圆和圆：，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

Answer 1

（1），
（2）为定值，定值是. 

试题分析：解：（1）（ⅰ）∵ 圆过椭圆的焦点，圆： ，∴ ，
∴ ， ，
∴  ．  4分
（ⅱ）由及圆的性质，可得
，∴
∴
∴， ．      8分                 
（2）
设，则
, 整理得
 ∴方程为：，             10分
方程为：．
从而直线AB的方程为：．                      12分
令，得，令，得，
∴，
∴为定值，定值是.                      16
点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。