Question

6．已知函数f（x）的定义域是D，若存在常数m、M，使得m≤f（x）≤M对任意x∈D成立，则称函数f（x）是D上的有界函数，其中m称为函数f（x）的下界，M称为函数f（x）的上界；特别地，若“=”成立，则m称为函数f（x）的下确界，M称为函数f（x）的上确界．
（Ⅰ）判断$f（x）=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}，g（x）={9^x}-2•{3^x}$是否是有界函数？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）=1+a•2^x+4^x（x∈（-∞，0））是以-3为下界、3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数$f（x）=\frac{{1-a•{2^x}}}{{1+a•{2^x}}}（{x∈[{0，1}]，a＞0}）$，T（a）是f（x）的上确界，求T（a）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据有界函数的定义分别求出f（x），g（x）的范围，从而判断是否有界即可；
（Ⅱ）问题转化为-2^x-$\frac{4}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{2}^{x}}$-2^x在（-∞，0）上恒成立，令t=2^x，g（t）=-t-$\frac{4}{t}$，h（t）=-t+$\frac{2}{t}$，根据函数的单调性求出t的范围即可；
（Ⅲ）求出a≤$\frac{1-y}{1+y}$≤2a，根据$\frac{1-2a}{1+2a}$≤y≤$\frac{1-a}{1+a}$，得到T（a）=$\frac{1-a}{1+a}$，从而求出T（a）的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$=$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$，
∵x≥0，∴$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{x}$≥1，
∴0＜f（x）≤1，函数f（x）是有界函数，
令t=3^x，则t＞0，
∴y=t²-3t≥-1即g（x）∈[-1，+∞），
∴g（x）不是有界函数；
（Ⅱ）∵函数f（x）=1+a•2^x+4^x，（x∈（-∞，0））是以-3为下界，3为上界的有界函数，
∴-3≤1+a•2^x+4^x≤3在（-∞，0）上恒成立，
即-2^x-$\frac{4}{{2}^{x}}$≤a≤$\frac{2}{{2}^{x}}$-2^x在（-∞，0）上恒成立，
令t=2^x，g（t）=-t-$\frac{4}{t}$，h（t）=-t+$\frac{2}{t}$，
∵x＜0，∴0＜t＜1，
设t₁，t₂∈（0，1），且t₁＜t₂，
则g（t₁）-g（t₂）=$\frac{{（t}_{2}{-t}_{1}）{{（t}_{1}t}_{2}-4）}{{{t}_{1}t}_{2}}$＜0，
∴g（t）在（0，1）递增，
故g（t）＜g（1）=-5，∴a≥-5，h（t₁）-h（t₂）＞0，
∴h（t）在（0，1）上是减函数，
故h（t）＞h（1）=1，
∴a≤1，
综上，实数a的范围是[-5，1]；
（Ⅲ）由y=$\frac{1-a{•2}^{x}}{1+a{•2}^{x}}$，得：a•2^x=$\frac{1-y}{1+y}$，
∵x∈[0，1]，a＞0，
∴a≤a•2^x≤2a，
即a≤$\frac{1-y}{1+y}$≤2a，
∴$\frac{1-2a}{1+2a}$≤y≤$\frac{1-a}{1+a}$，
故T（a）=$\frac{1-a}{1+a}$=-1+$\frac{2}{a+1}$，
∵a＞0，
∴T（a）的范围是（-1，1）．

点评 本题考查了新定义问题，考查有界函数有界函数的单调性问题，是一道中档题．