题目内容
设f（-x）=2-x+a•2x（a是常数）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；
（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
（1）求f（x）的表达式；
（2）如果f（x）是偶函数，求a的值；
（3）当f（x）是偶函数时，讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明．
（1）令t=-x，则x=-t，于是f(t)=2t+
∴f(x)=2x+
（2）∵f （x）是偶函数，∴2-x+
=2x+
对任意x∈R恒成立
即(a-1)(2x-
)=0对任意x∈R恒成立，
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，f(x)=2x+
，设0＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=(2x2+
)-(2x1+
)=(2x2-2x1)(1-
)
∵x1＜x2，且y=2x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x1＜x2，x1+x2＞0，∴2x1+x2＞1 ?
＜1
故1-
＞0
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴当x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数．
| a |
| 2t |
∴f(x)=2x+
| a |
| 2x |
（2）∵f （x）是偶函数，∴2-x+
| a |
| 2-x |
| a |
| 2x |
即(a-1)(2x-
| 1 |
| 2x |
∴a-1=0，即a=1
（3）由（2）知a=1，f(x)=2x+
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 2x2 |
| 1 |
| 2x1 |
| 1 |
| 2x1+x2 |
∵x1＜x2，且y=2x是增函数，∴2x2＞2x1，即2x2-2x1＞0
∵0＜x1＜x2，x1+x2＞0，∴2x1+x2＞1 ?
| 1 |
| 2x1+x2 |
故1-
| 1 |
| 2x1+x2 |
∴f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）
∴当x∈（0，+∞）时，f （x）是增函数．
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设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（ ）
（1）
；（2）
；
（3）
（4）
．
（1）
| lim |
| △x→0 |
| f(x0)-f(x0-2△x) |
| 2△x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x0+△x)-f(x0-△x) |
| △x |
（3）
| lim |
| △x→0 |
| f(x0+2△x)-f(x0+△x) |
| △x |
| lim |
| △x→0 |
| f(x0+△x)-f(x0-2△x) |
| △x |
| A、（1）（2） |
| B、（1）（3） |
| C、（2）（3） |
| D、（1）（2）（3）（4） |