Question

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3，求a-b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间，根据单调性的变换情况求出极值；
（Ⅱ）先求出f（x）的取值范围，求出f（x）的最值，因此对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是，得到约束条件，由线性规划得a-b的最大值即可．
解答：解：（Ⅰ），
当x∈（-2，1）时，f′（x）＞0；
当x∈（-∞，-2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0．
故f（x）在（-2，1）单调增加，在（-∞，-2），（1，+∞）单调减少．
f（x）的极小值，极大值f（1）=1．
（Ⅱ）由知，
即．
由此及（Ⅰ）知f（x）的最大值为1，最小值为．
因此对一切x∈R，-3≤af（x）+b≤3的充要条件是
即a，b满足约束条件，
由线性规划得，a-b的最大值为5．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和简单线性规划等有关知识，属于基础题．