题目内容
已知点（an，an-1）在曲线f（x）=
上，且a1=1．（1）求f（x）的定义域；
（2）求证：
（n∈N*）（3）求证：数列{an}前n项和
（n≥1，n∈N*）
【答案】分析：（ 1）由f（x）=
知x满足：x2+
≥0，
≥0，所以
≥0．由此能够求出f（x）定义域．
（2）由an+12=an2+
，则an+12-an2=
，知
=an+12-a12=an+12-1．要证明：
，只需证明：
．由数学归纳法能够证明原不等式成立．
（3）要证明：
，只需证：
（n≥2）．用分析法可以证明Sn=a1+a2+…+an≤1+2（
+
+…+
）=
．
解答：解：（1）由f（x）=
知x满足：x2+
≥0，
∴
≥0，
∴
≥0
∴
≥0，
故x＞0，或x≤-1．
f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）证明：∵an+12=an2+
，则an+12-an2=
，
于是有：
=an+12-a12=an+12-1
要证明：
只需证明：
（*）
下面使用数学归纳法证明：
（n≥1，n∈N*）
①在n=1时，a1=1，
＜a1＜2，则n=1时 （*）式成立．
②假设n=k时，
成立，
由
要证明：
，
只需2k+1≤
只需（2k+1）3≤8k（k+1）2
只需1≤4k2+2k，而4k2+2k≥1在k≥1时，恒成立，
于是
，于是
，
又
，
要证
只需证：
，
只需证：4k2+11k+8＞0，而4k2+11k+8＞0在k≥1时恒成立．
于是：
．
因此
得证．
综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．
（3）证明：要证明：
，
由（2）可知只需证：
（n≥2）（**）
下面用分析法证明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需证：（3n-2）
＞（3n-1）
即只需证：（3n-2）3n＞（3n-1）3（n-1），
只需证：2n＞1．
而2n＞1在n≥1时显然成立，
故（**）式得证．
于是由（**）式可知有：
+
+…+
≤
因此有：Sn=a1+a2+…+an≤1+2（
+
+…+
）=
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意数学归纳法和分析法在不等式证明中的灵活运用．
知x满足：x2+
≥0，
≥0，所以
≥0．由此能够求出f（x）定义域．（2）由an+12=an2+
，则an+12-an2=
，知
=an+12-a12=an+12-1．要证明：
，只需证明：
．由数学归纳法能够证明原不等式成立．（3）要证明：
，只需证：
（n≥2）．用分析法可以证明Sn=a1+a2+…+an≤1+2（
+
+…+
）=
．解答：解：（1）由f（x）=
知x满足：x2+
≥0，∴
≥0，∴
≥0∴
≥0，故x＞0，或x≤-1．
f（x）定义域为：（-∞，-1]∪（0，+∞）．
（2）证明：∵an+12=an2+
，则an+12-an2=
，于是有：
=an+12-a12=an+12-1要证明：
只需证明：
（*） 下面使用数学归纳法证明：
（n≥1，n∈N*） ①在n=1时，a1=1，
＜a1＜2，则n=1时 （*）式成立．②假设n=k时，
成立，由
要证明：
，只需2k+1≤
只需（2k+1）3≤8k（k+1）2只需1≤4k2+2k，而4k2+2k≥1在k≥1时，恒成立，
于是
，于是
，又
，要证
只需证：
，只需证：4k2+11k+8＞0，而4k2+11k+8＞0在k≥1时恒成立．
于是：
．因此
得证．综合①②可知（*）式得证，从而原不等式成立．
（3）证明：要证明：
，由（2）可知只需证：
（n≥2）（**）下面用分析法证明：（**）式成立．
要使（**）成立，
只需证：（3n-2）
＞（3n-1）
即只需证：（3n-2）3n＞（3n-1）3（n-1），
只需证：2n＞1．
而2n＞1在n≥1时显然成立，
故（**）式得证．
于是由（**）式可知有：
+
+…+
≤
因此有：Sn=a1+a2+…+an≤1+2（
+
+…+
）=
点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意数学归纳法和分析法在不等式证明中的灵活运用．
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