Question

已知点列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x₁=0，x₂=2，A₃是线段A₁A₂的中点，A₄是线段A₂A₃的中点，…，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，…，
（Ⅰ）写出x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设a_n=x_n+1-x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，可得x_n与x_n-1、x_n-2之间的关系式，
（Ⅱ）由题意知a₁=2，a₂=-1，a₃=

1

2

，由此推测：a_n=2•（-

1

2

）^n-1（n∈N^*）再进行证明．

解答：解：（Ⅰ）根据题意，A_n是线段A_n-2A_n-1的中点，则有
当n≥3时，x_n=

xn-1+xn-2

2

．
（Ⅱ）因为x₁=0，x₂=2，a₁=x₂-x₁=2，a₂=x₃-x₂=

x2+x1

2

-x₂=-

1

2

（x₂-x₁）=-

1

2

×2=-1，
a₃=x₄-x₃=

x3+x2

2

-x₃=-

1

2

（x₃-x₂）=-

1

2

（-1）=

1

2

，
由此推测：a_n=2•（-

1

2

）^n-1=

2

(-2)n-1

（n∈N^*）．
证明如下：因为a₁=a＞0，且a_n=x_n+1-x_n=

xn+xn-1

2

-x_n=

xn+xn-1

2

=-

1

2

（x_n-x_n-1）
=-

1

2

a_n-1（n≥2），
所以a_n=2•（-

1

2

）^n-1=

2

(-2)n-1

．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．考查递推关系式的应用．