Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上均值为C．下列五个函数：①y=4sinx；②y=x³；③y=lgx；④y=2^x；⑤y=2x-1．则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是________．

Answer 1

②③⑤
分析：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 成立的函数．
对于函数①y=4sinx，因为y=4sinx是R上的周期函数，明显不成立．
对于函数②y=x³，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的，即可得到成立．
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．
对于函数④y=2^x，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
对于函数⑤y=2x-1，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的x₂∈R，即可得到成立．
解答：对于函数①y=4sinx，明显不成立，因为y=4sinx是R上的周期函数，存在无穷个的x₂∈D，使 成立．故不满足条件；
对于函数②y=x³，取任意的x₁∈R，=2，，可以得到唯一的x₂∈D．故满足条件；
对于函数③y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使 成立．故成立；
对于函数④y=2^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=8．要使 成立，则f（x₂）=-4，不成立；
对于函数⑤y=2x-1定义域为任意实数，取任意的x₁∈R，==x₁+x₂-1=2，
解得x₂=3-x₁，可以得到唯一的x₂∈R．故成立，
故答案为：②③⑤
点评：此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．