Question

函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③当x∈[0，

1

4

]时，f（x）≥2x恒成立．则f(

3

7

)+f(

5

9

)=

1

．

Answer 1

分析：由当x∈[0，

1

4

]时，f（x）≥2x恒成立．可得f(

1

4

)≥2×

1

4

=

1

2

．已知x∈[0，1]，f（1-x）+f（x）=1恒成立，可得f(1-

1

4

)+f(

1

4

)=1，于是f(

1

4

)=1-f(

3

4

)≥

1

2

，可得f(

3

4

)≤

1

2

．利用函数f（x）的非减性质

1

2

≤f(

1

4

)≤f(

3

4

)≤

1

2

，可得f(

1

4

)=f(

3

4

)=

1

2

．再由

1

4

＜

3

7

＜

5

9

＜

3

4

．可得

1

2

=f(

1

4

)≤f(

3

7

)≤f(

5

9

)≤f(

3

4

)=

1

2

．于是f(

3

7

)=f(

5

9

)=

1

2

即可．

解答：解：当x∈[0，

1

4

]时，f（x）≥2x恒成立．∴f(

1

4

)≥2×

1

4

=

1

2

．
∵x∈[0，1]，f（1-x）+f（x）=1恒成立，∴f(1-

1

4

)+f(

1

4

)=1，∴f(

1

4

)=1-f(

3

4

)≥

1

2

，∴f(

3

4

)≤

1

2

．
∵

1

4

＜

3

4

，∴

1

2

≤f(

1

4

)≤f(

3

4

)≤

1

2

，解得f(

1

4

)=f(

3

4

)=

1

2

．
∵

1

4

＜

3

7

＜

5

9

＜

3

4

．
∴

1

2

=f(

1

4

)≤f(

3

7

)≤f(

5

9

)≤f(

3

4

)=

1

2

．
∴f(

3

7

)=f(

5

9

)=

1

2

．
∴f(

3

7

)+f(

5

9

)=

1

2

+

1

2

=1．
故答案为1．

点评：本题考查了如何充分利用新定义的条件和推理能力，属于难题．