题目内容

设函数f（x）的定义在R上的偶函数，且是以4为周期的周期函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-cosx，则a=f（- $数学公式$ ）与b=f（ $数学公式$ ）的大小关系为________．

a＞b
分析：根据函数f（x）周期为4的偶函数再利用函数的周期性及奇偶性，我们易在区间[2，4]上找到与f（- $\text{[math]}$ ），f（ $\text{[math]}$ ）两个函数值相同的自变量，再根据f（x）的区间[2，4]上是增函数，即可得到函数值f（- $\text{[math]}$ ），f（ $\text{[math]}$ ）的大小关系．
解答：∵x∈[0，2]时，f（x）=2x-cosx
∴f^′（x）=2+sinx＞0在x∈[0，2]上恒成立
∴f（x）=2x-cosx再x∈[0，2]上单调递增
∵函数f（x）的定义在R上的偶函数，且是以4为周期的周期函数
∴f（x）=2x-cosx在x∈[-2，0]上单调递减
∵f（x+4）=f（x）
∴f（x）在x∈[2，4]
∵f（- $\text{[math]}$ ）=f（- $\text{[math]}$ +4）=f（ $\text{[math]}$ ），f（ $\text{[math]}$ ）=f（ $\text{[math]}$ -4）=f（ $\text{[math]}$ ）且2＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 4
∴f（ $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）即f（- $\text{[math]}$ ）＞f（ $\text{[math]}$ ）
故答案为a＞b
点评：本题主要考查的是函数奇偶性与单调性的综合应用，属常考题，较难．解题的关键是利用函数的周期性及奇偶性在区间[2，4]上找到与f（- $\text{[math]}$ ），f（ $\text{[math]}$ ）函数值相同的自变量，但f（x）的区间[2，4]上单调性的判断是解答本题的重中之重！