题目内容

设函数f(x)的定义在R上的偶函数,且是以4为周期的周期函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-cosx,则a=f(-
3
2
)与b=f(
15
2
)的大小关系为
a>b
a>b
分析:根据函数f(x)周期为4的偶函数再利用函数的周期性及奇偶性,我们易在区间[2,4]上找到与f(-
3
2
),f(
15
2
)两个函数值相同的自变量,再根据f(x)的区间[2,4]上是增函数,即可得到函数值f(-
3
2
),f(
15
2
)的大小关系.
解答:解:∵x∈[0,2]时,f(x)=2x-cosx
∴f(x)=2+sinx>0在x∈[0,2]上恒成立
∴f(x)=2x-cosx再x∈[0,2]上单调递增
∵函数f(x)的定义在R上的偶函数,且是以4为周期的周期函数
∴f(x)=2x-cosx在x∈[-2,0]上单调递减
∵f(x+4)=f(x)
∴f(x)在x∈[2,4]
∵f(-
3
2
)=f(-
3
2
+4)=f(
5
2
),f(
15
2
)=f(
15
2
-4)=f(
7
2
)且2<
5
2
7
2
4
∴f(
5
2
)>f(
7
2
)即f(-
3
2
)>f(
15
2

故答案为a>b
点评:本题主要考查的是函数奇偶性与单调性的综合应用,属常考题,较难.解题的关键是利用函数的周期性及奇偶性在区间[2,4]上找到与f(-
3
2
),f(
15
2
)函数值相同的自变量,但f(x)的区间[2,4]上单调性的判断是解答本题的重中之重!
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