题目内容

已知F，F'分别是椭圆C₁：17x²+16y²=17的上、下焦点，直线l₁过点F'且垂直于椭圆长轴，动直线l₂垂直l₁于点G，线段GF的垂直平分线交l₂于点H，点H的轨迹为C₂．
（Ⅰ）求轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）若动点P在直线l：x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C₂的两务切线PA、PB，切点为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性．

解：（Ⅰ）∵17x²+16y²=17，∴ $\text{[math]}$
∴椭圆半焦距长为 $\text{[math]}$ ，F′（0，- $\text{[math]}$ ），F（0， $\text{[math]}$ ），
∵|HG|=|HF|
∴动点H到定直线l：y=- $\text{[math]}$ 与定点F（0， $\text{[math]}$ ）的距离相等
∴动点H的轨迹是以定直线l；y=- $\text{[math]}$ 为准线，定点F（0， $\text{[math]}$ ）为焦点的抛物线
∴轨迹C₂的方程是x²=y；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB
证明如下：由（Ⅰ）可设A $\text{[math]}$ ，B $\text{[math]}$ （x₁≠x₂）
∴切线AP的方程为： $\text{[math]}$ ，切线BP的方程为： $\text{[math]}$
联立方程组可解得P的坐标为 $\text{[math]}$ ，y_P=x₁x₂
∵P在抛物线外，∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cos∠AFP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
同理cos∠BFP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴cos∠AFP=cos∠BFP
∴∠PFA=∠PFB．
分析：（Ⅰ）根据椭圆方程确定椭圆半焦距长及焦点坐标，从而可得动点H到定直线l：y=- $\text{[math]}$ 与定点F（0， $\text{[math]}$ ）的距离相等，利用抛物线的定义，即可确定轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）猜想∠PFA=∠PFB．证明先确定切线AP、BP的方程，联立方程组可解得P的坐标，进而利用向量的夹角公式，即可证得结论．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的切线，考查向量知识的运用，正确运用向量的夹角公式是关键．