Question

已知F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，|

F1F2

|=2，离心率 e=

1

2

，过椭圆右焦点F₂的直线 l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 l的倾斜角为

π

4

，求线段MN中点的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件及e=

c

a

、a²=b²+c²即可解出a、b、c，从而求出椭圆C的方程；
（2）利用点斜式求出直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式即可求出线段MN的中点坐标．

解答：解：（1）∵2c=|

F1F2

|=2，∴c=1，
又由e=

c

a

=

1

2

，得a=2，∴b²=2²-1²=3，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）∵F₂（1，0），k_l=tan

π

4

=1．
∴直线l：y=x-1，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
线段MN的中点为G（x₀，y₀）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x-1

得7x²-8x-8=0，
∴x1+x2=

8

7

，
∴x0=

x1+x2

2

=

4

7

，y0=x0-1=-

3

7

，
故线段MN的中点为(

4

7

，-

3

7

)．

点评：熟练掌握椭圆的定义与性质、一元二次方程的根与系数的关系、线段的中点坐标公式及直线与圆锥曲线的相交问题的解题方法是解题的关键．