题目内容
2．已知函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$+1．（1）证明：函数f（x）在（1，+∞）上递减；
（2）记函数g（x）=f（x+1）-1，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明．
分析 （1）根据函数单调性的定义进行证明，
（2）求出函数的解析式，结合函数奇偶性的定义进行证明判断．
解答 证明：（1）设x1＞x2＞1，
则f（x1）-f（x2）=$\frac{1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
则x2-x1＜0，x1-1＞0，x2-1＞0，
则f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上递减．
（2）g（x）=f（x+1）-1=$\frac{1}{x+1-1}$+1-1=$\frac{1}{x}$，则g（x）是奇函数，
证明如下：∵g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，
g（-x）=-$\frac{1}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函数．
点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．
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12．
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如图，F1，F2分别是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{24}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点B，A两点．若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（ ）| A． | 8 | B． | 8$\sqrt{2}$ | C． | 8$\sqrt{3}$ | D． | 16 |
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| C． | x5 | D． | x5+5x4+10x3+10x2+5x+1 |