题目内容

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠DAD₁=45°，∠CAC₁=30°那么异面直线AD₁与DC₁所成角是

A.
$数学公式$
B.
2 $数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：先将D₁A平移到C₁B，得到的锐角∠DC₁B就是异面直线所成的角，在三角形DC₁B中再利用余弦定理求出此角即可．
解答：

解：如图
设AD=1，则D₁D=1，C₁A=2，AC= $\text{[math]}$ ，AB= $\text{[math]}$
将D₁A平移到C₁B，则∠DC₁B是异面直线AD₁与DC₁所成角
BD= $\text{[math]}$ ，C₁B= $\text{[math]}$ ，DC₁= $\text{[math]}$
cos∠DC₁B= $\text{[math]}$ ∴∠DC₁B= $\text{[math]}$ ，
故选C
点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

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（1）求棱A₁A的长；
（2）求点D到平面A₁BC₁的距离．

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁A=a，BC=

a，M是AD中点，N是B₁C₁中点．
（1）求证：A₁、M、C、N四点共面；
（2）求证：BD₁⊥MCNA₁；
（3）求证：平面A₁MNC⊥平面A₁BD₁；
（4）求A₁B与平面A₁MCN所成的角．

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=4，AA₁=5 则三棱锥A₁-ABC的体积为（　　）

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（2）若a=4，b=2，求该多面体的体积；
（3）当a，b满足什么条件时AD₁⊥DB₁，并证明你的结论．

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：A₁E⊥平面ADE；
（2）求三棱锥A₁-ADE的体积．