题目内容

已知定义在（0，+∞）上的函数 $数学公式$ ，其中a＞0，设两曲线有公共点P（x₀，y₀），且在点P（x₀，y₀）处的切线是同一条直线．
（1）若a=1，求P（x₀，y₀）及b的值；
（2）用a来表示b，并求b的最大值．

解：（1）若a=1时， $\text{[math]}$
分别求导数： $\text{[math]}$ …（2分）
∵在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．
∴ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，解得：x₀=-3或1--（4分）
∵定义在（0，+∞）上，
∴x₀=-3舍去，将x₀=1代入 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ …（6分）
∴公共点 $\text{[math]}$ ，…（7分）
代入g（x）=3lnx+b∴ $\text{[math]}$ …（8分）
（2）分别求导数： $\text{[math]}$ …（10分）
在P（x₀，y₀）的切线是同一条直线．
∴ $\text{[math]}$ ，即x₀=-3a或a，其中x₀=-3a舍去…（12分）
∴x₀=a而f（x₀）=g（x₀）得到： $\text{[math]}$ （ a＞0）…（13分）
令 $\text{[math]}$ （t＞0）
∴h'（t）=2t-6tlnt
令h'（t）=2t-6tlnt=0，解得 $\text{[math]}$ …（14分）
当h'（t）＞0时， $\text{[math]}$
当h'（t）＜0时， $\text{[math]}$ …（15分）
∴当 $\text{[math]}$ 时h（t）取到最大值，即 $\text{[math]}$ ----（16分）
分析：（1）求出f（x），g（x）的导数，求出两个导函数在x₀的值即点p处的切线斜率，求出b的值．
（2）利用f（x），g（x）在x₀处的导数值相等，得到关于a，b的等式，分离出b，求出b的导数，令导数为0求出根，判断根左右两边的符号求出极值，即最值．
点评：本题考查曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率；求函数的极值，先求出导数，令导数为0，注意一定判断根左右两边的符号．