题目内容

已知定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h(x)=x-a
x
，且g（x）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）求函数g（x）在x=2处的切线方程；
（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点个数，并说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
分析：（I）表示出函数g（x）后对其进行求导，将x=1代入导数g'（x）即可得到答案．欲求在点x=2处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（III）表示出C2的解析式，h1（x），转化为求h1（x）与g（x）的交点个数即可．
解答：解：（I）g（x）=x2-af（x）=x2-alnx，g′(x)=2x-
a
x
，g'（1）=2-a=0
∴a=2经检验a=2成立
又g（2）=4-2ln2，g'（2）=3，∴y-4+2ln2=3（x-2）
即函数g（x）在x=2处的切线方程：3x-y-2-2ln2=0
（II）h(x)=x-2
x
，定义域[0，+∞）h′(x)=1-
1
x
，
令h′(x)=1-
1
x
＞0，得x＞1；令h′(x)=1-
1
x
＜0得0＜x＜1，
∴函数h（x）单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（III）由（1）知g（x）=x2-2lnx，h(x)=x-2
x
，定义域[0，+∞）
∴C2对应的表达式为h1(x)=x-2
x
+6，问题转化为求函数g（x）=x2-2lnx与h1(x)=x-2
x
+6图象交点个数问题，故只需求方程x2-2lnx=x-2
x
+6，即2
x
-2lnx=-x2+x+6根的个数
设h2(x)=2
x
-2lnx，h3（x）=-x2+x+6，h2′(x)=
1
x
-
2
x
=
x
(
x
-2)
x
x
=
x
-2
x
，
当x∈（0，4），h2′（x）＜0，h2（x）为减函数；当x∈（4，+∞），h2′（x）＞0，h2（x）为增函数，而h3(x)=-x2+x+6=-(x-
1
2
)2+
25
4
，图象是开口向下的抛物线，作出函数h2（x）与h3（x）的图象，h3(
1
2
)=
25
4
，而h2(
1
2
)=
2
-2ln
1
2
=
2
+2ln2＜h3(
1
2
)可知交点个数为2个，即曲线C2与C3的交点个数为2个．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减区间的问题．这里要熟记各种函数的求导法则，用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
练习册系列答案
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12
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①f（x2）-f（x1）＞x2-x1；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③
f(x1)+f(x2)
2
＜f （
x1+x2
2
）．
其中正确结论的序号是
 
（把所有正确结论的序号都填上）．
已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=
(4k-1)ln
1
x
，x∈(0 ， e]
kx2-kx，x∈(e ， +∞)
是增函数
（1）求常数k的取值范围
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1
x
]=2，则f（
1
5
）=（　　）

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