题目内容

已知定义在（0，+∞）上的函数f(x)=
(4k-1)ln
1
x
，x∈(0 ， e]
kx2-kx，x∈(e ， +∞)
是增函数
（1）求常数k的取值范围
（2）过点（1，0）的直线与f（x）（x∈（e，+∞））的图象有交点，求该直线的斜率的取值范围．
分析：（1）由题意得
1-4k＞0
k＞0
1-4k≤ke2-ke
，由此解得常数k的取值范围．
（2）设过点（1，0）的直线为y=m（x-1），联立
y=m(x-1)
y=kx2-kx
，解得m=kx，再由x∈（e，+∞）可得m=kx＞ke，即得直线的斜率取值范围．
解答：解：（1）由题意得
1-4k＞0
k＞0
1-4k≤ke2-ke
，解得 
1
e2-e+4
≤k＜
1
4
，从而k的取值范围为[
1
e2-e+4
，
1
4
)．
（2）设过点（1，0）的直线为y=m（x-1），联立
y=m(x-1)
y=kx2-kx
，解得m（x-1）=kx2-kx，
由于x＞e，所以m=kx，m=kx＞ke，即直线的斜率取值范围为（ke，+∞）．
点评：本题主要考查对数函数的单调性的判断和应用，直线的斜率，属于基础题．
练习册系列答案
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12
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①f（x2）-f（x1）＞x2-x1；
②x2f（x1）＞x1f（x2）；
③
f(x1)+f(x2)
2
＜f （
x1+x2
2
）．
其中正确结论的序号是
 
（把所有正确结论的序号都填上）．
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x
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1
x
]=2，则f（
1
5
）=（　　）

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