Question

6．如图，已知椭圆C：$\frac{x^2}{2}$+y²=1，点B坐标为（0，-1），过点B的直线交椭圆C于y轴左侧另外一点A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆于另外一点Q．
①证明：|OM||ON|为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．

Answer 1

分析 （1）设出E（t，t），得到A（2t，2t+1），把A的坐标代入椭圆方程求得t，则直线AB的方程可求；
（2）①设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，然后分别求出直线AP、BP的方程，与直线y=x联立求得M，N的横坐标，由|OM||ON|=$\sqrt{2}|{x}_{M}|•\sqrt{2}|{x}_{N}|$化简得答案；
②设出直线BM：y=kx-1（其中$k=\frac{{y}_{M}+1}{{x}_{M}}$），联立直线方程和椭圆方程，求出Q坐标，得到AN、AQ的斜率，由k_AN=k_AQ，可得A、Q、N三点共线．

解答 （1）解：设E（t，t），则A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆上，则$\frac{（2t）^{2}}{2}+（2t+1）^{2}=1$，解得t=$-\frac{2}{3}$或t=0（舍），
∴E（$-\frac{2}{3}，-\frac{2}{3}$），故直线AB的方程为$\frac{y+1}{-\frac{2}{3}+1}=\frac{x}{-\frac{2}{3}}$，
整理得：x+2y+2=0；
（2）证明：①设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
直线AP：$y+\frac{1}{3}=\frac{{y}_{0}+\frac{1}{3}}{{x}_{0}+\frac{4}{3}}（x+\frac{4}{3}）$，与直线y=x联立得：${x}_{M}=\frac{4{y}_{0}-{x}_{0}}{3（{x}_{0}-{y}_{0}+1）}$；
直线BP：$y+1=\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}x$，与直线y=x联立得：${x}_{N}=\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-1}$．
∴|OM||ON|=$\sqrt{2}|{x}_{M}|•\sqrt{2}|{x}_{N}|=2$$|\frac{4{y}_{0}-{x}_{0}}{3（{x}_{0}-{y}_{0}+1）}|•|\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-1}|$=$\frac{2}{3}|\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{（{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-1}|$
=$\frac{2}{3}|\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}-1}|$=$\frac{2}{3}|\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}+1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}-2{x}_{0}{y}_{0}-1}|$=$\frac{2}{3}|\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}-2{x}_{0}{y}_{0}}|=\frac{4}{3}$为定值；
②设直线BM：y=kx-1（其中$k=\frac{{y}_{M}+1}{{x}_{M}}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²-4kx=0，
∴${x}_{Q}=\frac{4k}{1+2{k}^{2}}，{y}_{Q}=\frac{2{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}$，
${k}_{AN}=\frac{{y}_{N}+\frac{1}{3}}{{x}_{N}+\frac{4}{3}}=\frac{3{y}_{N}+1}{3{x}_{N}+4}$=$1-\frac{3}{3{x}_{N}+4}$，
${k}_{AQ}=\frac{{y}_{Q}+\frac{1}{3}}{{x}_{Q}+\frac{4}{3}}=\frac{2k-1}{2k+2}=1-\frac{3}{2（k+1）}$．
要证A、Q、N三点共线，只要证k_AN=k_AQ，只需证：3x_N+4=2k+2，
把k=$\frac{{y}_{M}+1}{{x}_{M}}$代入，即证${x}_{M}•{x}_{N}=\frac{2}{3}$．
由①的证明过程知|x_M|•|x_N|=$\frac{2}{3}$，而x_M，x_N同号，
∴${x}_{M}•{x}_{N}=\frac{2}{3}$．
即A、Q、N三点共线．

点评 本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力，体现了整体运算思想方法，综合性强，难度较大．