Question

1．已知点P（0，2），设直线l：y=kx+b（k，b∈R）与圆C：x²+y²=4相交于异于点P的A，B两点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，求b的值；
（Ⅱ）若|AB|=2$\sqrt{3}$，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）当|PA|•|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由P在圆上，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0，可知直线l过圆心O，由此求出b的值；
（2）由|AB|=2$\sqrt{3}$得到原点O到直线l的距离，再由面积为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$得另一关于k和b的等式，联立方程组求得满足条件的k值；
（3）联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，由|PA|•|PB|=4得到A，B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到直线l的斜率和截距的关系，由点到直线的距离公式求出P到直线l的距离为定值，由此可得存在一定圆M，方程是x²+（y-2）²=1，使得直线l与圆M相切．

解答 解：（Ⅰ）∵点P（0，2）在圆C：x²+y²=4上，且直线l：y=kx+b与圆C交于A，B两点，
当$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=0时，$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，
∴直线l过圆心O（0，0），则b=0；
（Ⅱ）由题意可知，直线l不过原点O，不妨设k＞0，b＞0，
由|AB|=2$\sqrt{3}$，得$\frac{|b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{4-（\sqrt{3}）^{2}}=1$，①
取x=0，得y=b，取y=0，得x=-$\frac{b}{k}$，
∴$\frac{1}{2}•\frac{b}{k}•b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，②
联立①②解得：$k=\sqrt{3}$或k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由对称性可得满足条件的直线l的斜率的值为$±\frac{\sqrt{3}}{3}$或$±\sqrt{3}$；
（Ⅲ）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，消去y，得（k²+1）x²+2kbx+b²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}-4}{1+{k}^{2}}$，
∵|PA|•|PB|=4，∴$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}-2）^{2}}•\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}-2）^{2}}=4$，
∴$（{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}-4{y}_{1}+4）（{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-4{y}_{2}+4）$=16，
即（2-y₁）（2-y₂）=1，
∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+3=0，则（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+b+kx₂+b）+3=0，
k²x₁x₂+（kb-2k）（x₁+x₂）-4b+3=0，
∴k²•$\frac{{b}^{2}-4}{{k}^{2}+1}$+（kb-2k）•（-$\frac{2kb}{1+{k}^{2}}$）-4b+3=0．
化简得：化简得k²=b²-4b+3，即k²+1=（b-2）²，
∴$\frac{|b-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$．
∵点P（0，2）到直线l：y=kx+b的距离d=$\frac{|-2+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴存在一定圆M，方程是x²+（y-2）²=1，使得直线l与圆M相切．

点评 本题考查了平面向量的应用，考查了直线与圆的位置关系，考查了定值的应用问题，综合性强，属难题．