Question

16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ-ρsinθ-4=0上一点，点Q为曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）上一点，则|PQ|的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 直线ρcosθ-ρsinθ-4=0化为x-y-4=0，曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）化为x²=4y．设与此抛物线相切且与直线x-y-4=0平行的直线方程为x-y+m=0，代入抛物线方程可化为x²-4x+4m=0，利用△=0，解得m．可得切点Q．求出点Q到直线l的距离d即可得出．

解答 解：直线ρcosθ-ρsinθ-4=0化为x-y-4=0，
曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=\frac{1}{4}{t}^{2}}\end{array}\right.$（t为参数）化为x²=4y．
设与此抛物线相切且与直线x-y-4=0平行的直线方程为x-y+m=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+m=0}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x²-4x+4m=0，
∵△=16-16m=0，解得m=1．
可得切点Q（2，1）．
∴点Q到直线l的距离d=$\frac{|2-1-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴|PQ|的最小值为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了抛物线参数方程、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与抛物线相切、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题