题目内容
（2013•崇明县一模）如图，椭圆E：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）利用椭圆的定义、等边三角形的性质即可得出；
（2）①判断圆心到x轴的距离与半径的大小关系即可得出；
②假设平面内存在定点M满足条件，则由对称性知点M在x轴上，再利用直径所对的圆周角是直角即可求出．
（2）①判断圆心到x轴的距离与半径的大小关系即可得出；
②假设平面内存在定点M满足条件，则由对称性知点M在x轴上，再利用直径所对的圆周角是直角即可求出．
解答：解：（1）∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，∴a=2．
又当△AF1F2面积最大时为正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，
∴椭圆E的方程为
+
=1
（2）①由
，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0
由直线与椭圆相切得m≠0，△=0，⇒4k2-m2+3=0．
求得P(-
，
)，Q（4，4k+m），PQ中点到x轴距离 d2=(2k+
+
)2(
|PQ|)2-d2=(
-1)2＞0(4k2-m2+3=0⇒m≠2k)．
所以圆与x轴相交．
②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），
=(-
-x1，
)，
=(4-x1，4k+m)．
由
•
=0，得(4x1-4)
+x12-4x1+3=0．
∴4x1-4=
-4x1+3=0，即x1=1．
所以定点为M（1，0）．
又当△AF1F2面积最大时为正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①由
|
由直线与椭圆相切得m≠0，△=0，⇒4k2-m2+3=0．
求得P(-
| 4k |
| m |
| 3 |
| m |
| m |
| 2 |
| 3 |
| 2m |
| 1 |
| 2 |
| 2k |
| m |
所以圆与x轴相交．
②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M（x1，0），
| MP |
| 4k |
| m |
| 3 |
| m |
| MQ |
由
| MP |
| MQ |
| k |
| m |
∴4x1-4=
| x | 2 1 |
所以定点为M（1，0）．
点评：熟练掌握椭圆的定义、等边三角形的性质、直线与圆的位置关系的判断、圆的对称性、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
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