Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在上的极值；

（3）设函数，若，且对任意的实数，不等式恒成立（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值；（3）.

【解析】

（1）代入，求导，求出斜率和切点，利用点斜式可写出直线方程；

（2）求导，分类讨论求出函数在上单调性，列表，找到极值点，进而可得极值；

（3）对任意的，恒成立，先通过估算实数a的取值范围，再分和讨论，求导，求出的最大值，列不等式求解即可.

（1）当时，，

，

所以，，

所以曲线在点处的切线方程为

即；

（2），.

①当时，，在上单调增，所以无极值；

②当时，令，得，列表如下：

x
		0
		极小值

所以的极小值为.

综上所述，当时，无极值；

当时，的极小值为，无极大值；

（3）因为.

由题意，对任意的，恒成立，所以，

解得，又，所以.

①当时，因为，所以，当且仅当时，取等号.

由（2）知，在上单调增，所以.

所以，当且仅当时，取等号，

所以在上单调增，则，

解得，此时，.

②当时，由（2）知，在上单调递增，且，

又，所以存在，且，使得，

即，得.

所以的解为和a，列表如下：

x				a
		0		0
		极大值		极小值

所以，，即，

又，所以恒成立，此时，.

综上所述，实数a的取值范围为.