Question

11．在直角坐标系xoy中，圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：（x-2）²+y²=4．
（1）求圆C₁与C₂的公共弦所在直线方程；
（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C₁、C₂的极坐标方程，并求出圆C₁、C₂的交点的极坐标．

Answer 1

分析 （（1）两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式；
（2）根据极坐标与直角坐标互化的公式，分别算出两圆的极坐标方程；再根据两圆的位置关系，可得它们的交点距离原点的距离和射线与x轴正半轴所成的角，即可得到两圆交点的极坐标．

解答 解：（1）圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：（x-2）²+y²=4，
方程相减得圆C₁与圆C₂的公共弦所在直线的方程：x=1；
（2）解圆C₁：x²+y²=4，化成极坐标方程为ρ²=4，解之得ρ=2
∵圆C₂：（x-2）²+y²=4，展开得x²+y²-4x=0，
∴⊙C₂化成极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，化简得ρ=4cosθ
又∵⊙C₁与⊙C₂在直角坐标下交于点A（1，$\sqrt{3}$），B（2，-$\sqrt{3}$）
∴点A的极径ρ₁=2，极角θ₁=$\frac{π}{3}$，得A的极坐标为（2，$\frac{π}{3}$）
同理，得A的极坐标为（2，-$\frac{π}{3}$）．

点评 此题考查了直线与圆相交的性质，考查了极坐标与直角坐标互化的公式、直线与圆的位置关系等知识点，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．