题目内容

已知数列{an}中，．
（1）求证：数列{a2n-1}与{a2n}（n∈N*）均为等比数列；
（2）求数列{an}的前2n项和T2n；
（3）若数列{an}的前2n项和为T2n，不等式3（1-ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立，求k的最大值．
【答案】分析：（1）由题意知数列a1，a3，…，a2n-1，…是以1为首项，为公比的等比数列；数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列；
（2）利用等比数列的求和公式得到即可；
（3）不等式3（1-ka2n）≥64T2n•a2n对n∈N×恒成立等价于64T2n•a2n≤3（1-ka2n）?64[3-3•]≤3-3k?2n+≥64+k.≥16当且仅当n=3时取等号，所以64+k≤16，即k≤-48求出k的最大值即可．
解答：解：（1）∵
∴
∴数列a1，a3，…，a2n-1，…是以1为首项，为公比的等比数列；
数列a2，a4，…，a2n，…是以为首项，为公比的等比数列．
（2）T2n=（a1+a3+…+a2n-1）+（a2+a4+…+a2n）=+=3-3•
（3）64T2n•a2n≤3（1-ka2n）?64[3-3•]≤3-3k?2n+≥64+k
≥16当且仅当n=3时取等号，
所以64+k≤16，即k≤-48
∴k的最大值为-48
点评：考查学生对等比关系的确定能力，求等比数列前n项的能力．
练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=1，an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)，则
lim
n→∞
an=
 
．
已知数列{an}中，a1=1，an+1=
an
1+2an
，则{an}的通项公式an=
1
2n-1
1
2n-1
．
已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{
2n
an
}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=
1
2
，Sn为数列的前n项和，且Sn与
1
an
的一个等比中项为n(n∈N*），则
lim
n→∞
Sn=
1
1
．
已知数列{an}中，a1=1，2nan+1=（n+1）an，则数列{an}的通项公式为（　　）
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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