Question

设函数f（x）=

1-x

ax

+lnx在[1，+∞）上为增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）若a=1，求证：

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n-1

（n∈N*且n≥2）．

Answer 1

（1）由已知：f'（x）=

ax-1

ax2

(a＞0)．
依题意得：

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正实数a的取值范围为[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=ln

n

n-1

-

1

n

＞f(1)=0，
即：

1

n

＜ln

n

n-1

…． （9分）
∴

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1nn．
设g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），则g′(x)=

1

x

-1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）为减函数．
∴n≥2时：g（

n

n-1

）=ln

n

n-1

-

n

n-1

＜g（1）=-1＜0，
 即：ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

1

n-1

 （n≥2）．
∴lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＜(1+

1

n-1

)+(1+

1

n-2

)+…+(1+

1

1

)=n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，
综上所证：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（n∈N*且≥2）成立．