Question

【题目】已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求的最大整数值．

Answer 1

【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.(2)2.

【解析】

分析：（1）先确定函数的定义域，再求出函数的导数， ， 分类讨论，确定和时函数的单调性.

（2）根据题意，转化为时，条件下求参数问题.由（1）可知：①当时在上单调递增，且，即成立；②时，即，分析情况同①；③时，即，，构造关于的新函数，判断函数的单调性，确定函数零点位置，而；综上得的最大整数值为.

详解：解：（1）函数的定义域为．

，

当时，，在上单调递增，

当时，令，得，令，得，

在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当时在上单调递增，

又，所以当时，，满足题意.

由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.

若，即，在上单调递增，

所以当时，，满足题意.

若，即，在上单调递减，在上单调递增.

即

令，

，

在上单调递减，

又，，

在上存在唯一零点，

综上所述，的取值范围为，故的最大整数值为.