Question

15．在△ABC中：
（1）已知b=8，c=3，∠A=60°，求a；
（2）已知a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{3}$+1，求∠A；
（3）已知a=2，b=$\sqrt{6}$，∠A=45°，求∠B；
（4）已知a=5$\sqrt{2}$，c=10，∠A=30°，求∠B．

Answer 1

分析 （1）运用余弦定理，即可求得a=7；（2）运用余弦定理，计算可得A；
（3）运用正弦定理，可得B有两解；（4）由正弦定理，求得sinC，注意C有两解，再由三角形内角和定理，可得B．

解答 解：（1）由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=64+9-2•8•3•$\frac{1}{2}$=49，解得a=7；
（2）由余弦定理可得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{2+4+2\sqrt{3}-4}{2×\sqrt{2}×（\sqrt{3}+1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜A＜π，可得A=$\frac{π}{4}$；
（3）由正弦定理可得，sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于b＞a，即B＞A，即有B为锐角或钝角，解得B=60°或120°；
（4）由正弦定理可得，sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{10×\frac{1}{2}}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由于c＞a，即C＞A，即有C为锐角或钝角，解得C=45°或135°，
即有∠B=180°-30°-45°=105°，或∠B=180°-135°-30°=15°．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．