题目内容
【题目】已知椭圆
的焦距与短轴长相等,长轴长为
,设过右焦点F倾斜角为
的直线交椭圆M于A、B两点.
(1)求椭圆M的方程；
(2)求证:
(3)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C、D,求四边形ABCD面积的最小值.
【答案】（1）
；（2）详见解析；（3）16
【解析】
（1）根据条件可知
，再根据
，求解方程；
（2）分
和
两种情况求弦长，当时，设直线
的方程为
，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，
，
，代入弦长公式
，再根据
证明；
（3）由题意可知四边形
的面积是
，根据
，代入弦长公式可得
，
再根据三角函数求函数的最小值.
（1）由题意可知，
，
解得：
，
椭圆方程是： ；
（2）当时，
，此时
，满足
当时，设直线的斜率为
，
设直线的方程为，
由
得
设
， ，
，
，代入上式，
，
综上可知：.
（3）过右焦点
且与直线垂直的直线交椭圆
于
两点，
，
，
，
，
当
时，
的最小值是
.
而四边形的面积是，
四边形的面积的最小值是
.
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，参照下表：
| 0.01 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5,024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
得到的正确结论是（ ）
A. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
B. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
