Question

已知双曲线，点在曲线上，曲线的离心率为，点、为曲线上易于点A的任意两点,为坐标原点。
（1）求曲线上方程；
（2）若为曲线的焦点，求最大值；
（3）若以为直径的圆过点，求证：直线过定点，并求出定点坐标。

Answer 1

（1）方程为
（2）由双曲线的对称性知，不妨设P在左支上，设，由焦半径得：
，所以
所以，当时取等号。
的最大值是。
（3）设，联立直线PQ和双曲线方程得：
，所以得。
且，由题知，
所以，
，
代入的，
解得或（舍去），所以PQ方程为，
即得PQ过定点
（说明：另解一，可以利用对称和当PQ垂直情况猜过轴上点，然后证明；
另解二，设AP斜率，求出P，Q坐标，然后利用两点式写出方程判断过定点，）

略