Question

【题目】已知函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）若函数 在区间 上是单调函数，试求实数 的取值范围；
（2）已知函数 ，且 ，若函数 在区间 上恰有3个零点，求实数 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，
当函数 在区间 上单调递增时， 在区间 上恒成立，
∴ （其中 ），解得 ；
当函数 在区间 单调递减时， 在区间 上恒成立，
∴ （其中 ），解得 ．
故答案为：实数 的取值范围是 ．
（2）解： ．
由 ，知 在区间 内恰有一个零点，
设该零点为 ，则 在区间 内不单调，
所以 在区间 内存在零点 ，
同理， 在区间 内存在零点 ，
所以 在区间 内恰有两个零点．
由（1）知，当 时， 在区间 上单调递增，故 在区间 内至多有一个零点，不合题意．
当 时， 在区间 上单调递减，
故 在 内至多有一个零点，不合题意；
所以 ．
令 ，得 ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
记 的两个零点为 ， （ ），
因此 ， ，必有 ， ．
由 ，得 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ．
故答案为：实数 的取值范围为 ．
【解析】（1）函数在区间上单调等价于导函数在区间上恒非正或恒非负,转化为恒成立问题.
（2）明显函数已有一个零点，再根据导数研究函数的单调性、极值得到再有两个零点时参数的范围.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值即可以解答此题．